재결정 기반 얼음 형성과 자기 점프 현상의 물리 기반 시각 시뮬레이션

컴퓨터 그래픽스에서 얼음은 주로 형상 성장(icicles, speleothems)과 광학적 표현(불투명·산란 렌더링)을 중심 으로 연구되어 왔다. Gagnon et al.은 유수와 표면 에너지 균형을 절차적으로 근사해 상호작용형 고드름 생성을 제안했고 [3], 동굴 석순·석순 성장(스펠레오템)을 물리-화학 모델로 모사해 장면 규모의 애니메이션까지 확장하는 접근도 보고되었다 [4]. 보다 폭넓게는눈·얼음 애니메이션 전반을 정리한 최신 SOTAR 가 존재하며, 입자/격자 하이브리드, 위상장(phase-field) 기반 동결 패턴 등 그래픽스 기법의 계보를 정리한다 [5].

한편 불투명 얼음의 내부 기포 방향성까지 포함하는 효율적 모 델링·렌더링도 제안되었다 [2]. 이 계열 연구는 정적 결과물(형 상·광원 응답)을 고품질로 생성하는 데 강점이 있지만, 재결정·증발 등 비평형 열-유체 현상이 이끄는 동역학적 사건(예: self-jumping)은 범위 밖으로 남아 있다.

재결정(recalescence) 단계는 과냉각수(supercooled water)에서 핵생성 후 잠열 방출로 액적 온도가 급상승하는 현상으로, 이어 지는 증발 플럭스 증가와 결합해 압축-변형 후 이탈(jumping)을 유도할 수 있음이 보고되었다. Graeber et al.은 재결정 중의 온도 급상승과 얼음 레비테이션/이탈 메커니즘을 정량화했고 [6], 최 근 Yan et al.은 저압(∼100 Pa)에서의 동결 방울이 증기화 모멘텀 (vaporization momentum) 때문에 과압(overpressure) 가설보다 크 게 점프를 유발함을 실험·이론·수치로 입증했다 [7]. 또한 확장 맥락에서, 확산/결정화가 동반된 동결 스프레딩의 재결정 단계를 단계적으로 기술한 유체역학 연구도 존재한다 [8].

이 선행들은 핵생성 위치(θ_n) 와 전선(Front) 전파가 증발 플럭 스의 시공간 분포를 비대칭화하고, 그 적분 임펄스가 점프 방향 (≈ −θ_n) 과 강도를 좌우한다는 점에서, 본 연구의 자동 핵생성과 아크 제한 임펄스 누적 전략에 물리적 근거를 제공한다.

증기화 모멘텀은 재결정 구간의 표면에서 증발 질량유량×법선 방향으로 생성되는 반작용 성분으로, 동결 방울의 self-jumping 임펄스를 설명한다 [7]. 점프 메커니즘 자체는 동결에 한정되 지 않으며, 응결/응축계(coalescence) 에서도 표면장 에너지 이 득→운동 에너지 전환으로 방울이 이탈하는 coalescence-induced jumping이 잘 알려져 있다 [9, 10, 11]. 또한 저압 환경이 점프 고 도/속도를 유리하게 만드는 실험적 결과도 다수 보고되었다 [12]. 다만 이들 유체역학 연구는 표면장 또는 재결정-증발에 의한 임 펄스의 물리를 중심으로 하며, 그래픽스 워크플로 측면—임의 실 루엣, 인터랙티브 파라미터 제어, 분리 이후 원본 형상 보존 강 체화 등—은 다루지 않는다. 본 연구는 이를 보완해 제작 입자 파이프라인으로 방향성 임펄스 누적→분리 판정→강체 전환을 연결한다.

정리하면, 기존 CG 연구는 형상·광학 중심(정적 결과), 유체역 학 연구는 현상 물리 중심으로 self-jumping의 제작-지향 시뮬레 이션이 부재했다. 본 논문은 자동 핵생성–재결정 밴드–아크 제한 임펄스–강체 전환을 잇는 경량 입자 파이프라인을 통해 이 간극 을 메우며, 방향 제어·실루엣 보존·실시간 상호작용이라는 제 작 요구를 함께 충족한다.

프레임마다 다음 순서로 진행된다:

먼저 중심 C ∈ ℝ²를 기준으로 반경 R의 원판 영역에, 균일 간격 s로 입자 ${\left\{{\text{x}}_i\right\}}_{i=1}^N$를 배치한다 (see Figure 1). 각 입자는 초기 온도 T_i = T_init에서 시작하며, 액상비는 α_i = 1로 두어 액체 상태(Liquid)임을 명시한다. 표면 법선은 중심 방향을 따라 n_i = normalize(x_i − C)로 초기화한다.

인접한 상호작용을 효율적으로 계산하기 위해, 반경 h 내에 위 치한 이웃을 입자별 리스트로 유지한다. 입자 i의 이웃 집합은 다음과 같이 정의한다 (see Equation 1).

결빙 전 단계에서 각 입자의 위치는 단순히 물리적 좌표 집합일 뿐, 어떤 입자가 실제로 외부에 노출된 표면 인지 판별하기 위해 서는 국소 밀도에 기반한 추가적인 검출 과정이 필요하다. 본 연 구에서는 입자 주변의 수밀도(Number density)를 측정하여 표면 여부를 결정한다. 이를 위해 널리 사용되는 2차원 Poly6 커널을 적용하여, 입자 i의 근방에 위치한 이웃 입자들의 공간적 분포를 다음과 같이 이웃 입자들의 합으로 근사한다 (see Equation 2).

여기서 r = ∥x_j − x_i∥은 두 입자 간 거리이며, (·)₊ 연산자는 음수 구간에서 0으로 클램프되는 양의 부분 함수를 의미한다. 즉, r > h인 경우 커널의 값이 0이 되어, 이웃 반경 h를 넘어서는 입자들의 영향은 자동으로 제거된다.

모든 입자에 대해 계산된 수밀도 {n_i} 중 상위 10%의 평균값을 n_ref로 두고, n_i < ς·n_ref인 입자를 표면으로 분류한다. 여기서 ς 는 사용자가 입력한 가중치로 본 논문에서는 0.82로 설정했다. 이 방식은 외곽 입자들이 내부보다 주변 이웃 수가 적다는 점을 이용 한 간단하지만 효과적인 표면 검출 기준이며, 특히 비정형 입자 분포나 포아송 샘플링 기반 배치에서도 안정적으로 동작한다.

표면이 판정된 후에는 표면으로부터 내부로의 거리 기반 위상 정보를 구축하기 위해 너비 우선 탐색(Breadth-First Search, BFS) 을 이용해 각 입자에 레이어 인덱스를 부여한다. 표면 입자는 레 벨 0으로 시작하고, 이웃 탐색을 통해 인접한 내부 입자들에게 순차적으로 증가하는 정수 레벨을 지정한다 (see Equation 3).

이렇게 얻어진 레이어 구조는 이후 단계에서 얼음 껍질의 커버 리지 계산 및 내부 전파(Propagation) 판정의 기준으로 사용되어, 결빙이 진행됨에 따라 표면으로부터 내부로 확장되는 동결 거동 을 효율적으로 추적할 수 있다.

핵생성(Nucleation)은 결빙 초기 단계에서 결정이 처음 형성되는 물리적 과정으로, 표면의 국소 냉각 속도와 열적 불균일성에 의 해 결정된다. 본 연구에서는 외부에서 인위적인 핵(Seed)을 부 여하지 않고, 표면 입자들의 온도 분포가 시간에 따라 진화함에 따라 자발적 핵생성(Auto-nucleation)이 발생하도록 설계하였다. 즉, 표면 온도장 T_i가 임계 과냉각(Critical supercooling) 조건에 가장 먼저 도달하는 위치를 핵생성 지점으로 정의한다.

이를 위해 매 시뮬레이션 프레임마다 Schrage 근사를 기반으 로 한 증발 냉각 모델을 적용한다. Schrage 근사는 표면과 주변 환경 간의 증기 압력 차이에 비례하여 질량 플럭스가 발생한다고 가정하며, 이를 통해 표면 온도의 시간 변화율을 근사적으로 표 현할 수 있다. 입자 i의 온도 감소량은 다음과 같이 계산된다 (see Equation 4).

여기서 J_w(T_i)는 온도 T_i에서의 물 표면 증발 플럭스, k_cool은 냉 각 계수, β는 표면 법선 n_i가 상부 방향 ŷ와 이루는 각도에 따라 냉각을 가중하는 상부(y) 편향 계수이다. 이 항은 실제 중력장 하 에서 상부 표면이 하부보다 더 빠르게 냉각되는 경향을 모사하기 위한 것이다. 본 논문에서 β는 0.3으로 설정했다.

Figure 2는 본 연구에서 사용된 표면 냉각 편향 함수의 각도 의존성을 나타낸다. 가로축은 표면 법선의 극각(0◦ → x 방향, 90◦ → y 방향)을, 세로축은 냉각 가중치 1+β max (0, n_i·ŷ 를 각 각 의미한다. 상부(y) 방향을 향하는 표면일수록 외부로의 증발이 활발해지므로, 해당 영역의 냉각 속도가 상대적으로 커지는 현상 을 모사한다. β = 0.3일 때, 법선이 y축을 향하는 부근(90◦ 근처) 에서 최대 약 1.3배의 냉각 강화 효과가 나타나며, 하부 영역(y 방 향)은 편향이 거의 없는 1.0 수준으로 유지된다. 이 편향 모델은 저압 환경에서의 실제 물리적 현상, 즉 중력 방향 상부의 표면이 하부보다 빠르게 온도를 잃고 먼저 결빙이 시작되는 경향을 단순 화하여 표현한다. 세로축을 나타내는 냉각 가중치의 기본 구조는 표면 법선이 위쪽(y) 방향을 향할수록 냉각이 강해진다는 물리적 근거(자연 대류·증발 편향)를 반영한 것이다. 즉, 위쪽 표면일수록 공기 흐름과 접촉이 많아지고, 증발 플럭스가 상대적으로 커지는 경향을 단순 모델을 표현한 것이다. 냉각 가중치에서 사용하는 β에 0.3을 대입했을 때 1 + 0.3 max (0, n_i·ŷ) ≈ 1.0 to 1.3 범위를 갖게 된다. 따라서 1.3배의 냉각 강화 효과는 모델 파라 미터로부터 계산된 수치적 결과이지, 실험 데이터에서 직접 얻은 값은 아니다.

시간이 경과함에 따라 표면 입자들은 점진적으로 냉각되며, 그 중 일부는 다음 임계 조건을 만족한다 (see Equation 5).

여기서 T_m은 물의 융점(0◦C), ∆T_nuc은 핵생성을 유도하는 과 냉각 임계값이며, 본 논문에서는 ∆T_nuc = 12로 설정한다. 임계 온도는 아래와 같이 정의하고 (see Equation 6), 시간 t에서 표면 집합 S에 속한 입자들의 최소 온도를 다음과 같이 둔다 (see Equation 7).

이때 핵생성은 다음의 최초 시점 t_nuc에서 자동으로 발생한다 (see Equation 8).

이때 핵생성 지점이 되는 입자 인덱스 i*는 아래와 같이 계산하 고 (see Equation 9), 만약 수치적 이유(동일 온도, 소수점 반올림 등)로 동률이 발생하면, 다음의 우선순위를 적용해 하나를 선택 한다: (1) 최근 프레임 구간에서의 냉각률이 더 큰 입자, (2) 상향 법선 성분이 더 큰 입자(n_i·ŷ가 큰 순), (3) 인덱스가 작은 입자 (결정적 결정).

핵생성 씨드의 위치 각도는 중심 C에 대한 극각으로 정의한다 (see Equation 10).

여기서 x_i*는 씨드 입자의 좌표이다.

핵생성 이벤트가 확정되면, 시뮬레이션 상태 변수를 True로 전 환하고, 전선(Front) 전파 및 임펄스 누적 단계의 초기 조건을 다 음과 같이 설정한다.

이 초기화는 재결정 전선의 양/음 방향 전파가 씨드 각 θ_seed 에서 동시에 시작되도록 보장하며, 이후 (6)–(10)의 정의에 따라 전선 확산, Mushy 밴드 온도 안정화, 아크 제한 임펄스 적분, 분리 (Detach) 판정이 순차적으로 진행된다. 요약하면, (8)–(9)에 의해 가장 먼저 임계 과냉각에 도달한 표면 입자가 자동으로 씨드로 선택되며, 그 각도 (10)를 기준으로 전선 확산 단계가 시작된다.

이 절차를 통해 외부 입력 없이도 온도장의 동적 분포에 의해 핵생성 위치와 시점이 자동으로 결정된다. 특히, 이 접근법은 저 압 환경에서 실험적으로 관찰된 비대칭적인 초기 결빙 패턴—즉, 특정 표면 방향에서 먼저 재결정이 시작되는 현상을 간단한 열-증발 모델로 재현할 수 있다는 점에서 실용적이다.

Figure 3은 표면 각도에 따른 온도 분포의 시간적 변화를 나 타낸다. 파란색 곡선은 초기 상태에서의 균일한 표면 온도 T_i = T_init를, 주황색 곡선은 냉각 모델을 40 프레임 동안 적용한 뒤 의 온도 분포를 각각 보여준다. 점선은 핵생성 임계온도 T_nuc = T_m − ∆T_nuc 을 표시하며, 이 값에 먼저 도달한 위치가 자동 핵생 성(Auto-nucleation)의 시작점이 된다.

그래프에서 볼 수 있듯이, 상부(y 방향)에 해당하는 각도(약 90◦ 부근)의 입자들이 가장 빠르게 냉각되어 T_nuc 이하로 먼저 도 달하고, 해당 지점이 첫 번째 씨드로 선택된다. 이는 앞서 제시된 냉각 편향 모델(see Figure 2)이 예측한 바와 같이, 상향 표면에서 증발이 더 활발하게 일어나며 열 손실이 크게 발생하기 때문이 다. 따라서 Figure 3은 본 연구의 자동 핵생성 알고리즘이 편향된 냉각 조건 아래에서 실제 물리적 현상과 일관된 시각적 결과를 재현함을 보여준다.

덧붙여, Figure 3의 곡선이 각도에 따라 거의 일정해 보이는 이유는 초기 온도가 균일하고, 편향 계수 β가 작으며(본 실험에 서는 β = 0.3), 적분 시간(40 프레임)이 짧아 상부(y) 편향 항 1+ β max(0, n_i·ŷ)에 따른 온도 차이가 축 스케일 대비 매우 작기 때문이다. β를 크게 하거나(예: 1.0 이상), 적분 프레임 수를 늘리 면(예: 200 프레임) 상부 근처(약 90◦)에서 더 뚜렷한 하강 곡선을 확인할 수 있다.

Figure 4는 원형 표면을 따라 분포한 입자들의 온도장과 자동 핵생성(Auto-nucleation)이 발생한 씨드 위치를 시각적으로 보여 준다. 색상은 각 표면 입자의 온도 값을 나타내며, 색상 막대는 절 대온도(K) 기준으로 표기하였다. 상부(y) 방향의 입자들이 더 낮 은 온도를 가지며, 이 영역에서 처음으로 임계온도 T_nuc = T_m − ∆T_nuc 에 도달함을 확인할 수 있다. 빨간색 원으로 표시된 입자 는 이러한 임계 조건을 가장 먼저 만족한 핵생성 지점으로, 이후 재결정 전선(Recalescence front)의 확산이 해당 방향으로 시작 된다.

이 결과는 앞서 제시한 냉각 편향 모델(see Figure 2)과 온도 분포 시뮬레이션(see Figue 3)에서 예측된 경향과 일치한다. 즉, 상향(y) 표면에서의 증발 냉각이 더 강하게 작용하여 결빙이 먼 저 시작되고, 그 위치가 실제 자동 핵생성의 출발점으로 작동함 을 보여준다. 따라서 본 그림은 단순한 열–증발 모델을 통해 실제 저압 환경에서 관찰되는 비대칭적 결빙 개시 현상을 효과적으로 재현함을 입증한다.

본 논문에서는 결빙 과정을 기술하기 위해 세 가지 용어를 명확히 구분하여 사용한다. (1) 전선(front)은 재결정이 퍼져나가는 이동 경계선을 의미하며, (2) 재결정 밴드(recalescence band)는 전선이 지나간 직후의 열적 과도구간, (3) Mushy band는 액–고체가 공존 하며 상변화가 진행되는 부분 고상화 층이다.

핵생성이 시작된 이후에는 결정화 경계(Front)가 씨드 각도 θ_seed를 중심으로 양방향으로 확산되며 표면을 따라 전파된다. 이 전선의 이동은 결빙 속도의 비대칭성과 열적 확산에 의해 결정되 며, 시간에 따라 다음과 같이 기술할 수 있다 (see Equation 14).

여기서 v_pos/neg는 각각 전선이 씨드의 양의 방향과 음의 방향으 로 퍼져 나가는 각속도를 의미한다.

Figure 5은 재결정 전선(Front)의 전파 범위를 표면 각도에 따 라 나타낸 것이다. 파란색 실선은 시뮬레이션의 최종 시점에서 전선이 도달한 각도 범위를 의미하며, 점선은 씨드가 위치한 초기 핵생성 각도 θ_seed를 표시한다. 그래프가 전 구간에서 1로 일정하 게 유지되는 것은, 설정된 전선 속도 v_pos/neg와 시뮬레이션 시간 (t_final)이 충분히 커서 전체 표면이 재결정 전선의 영향권에 포 함되었음을 의미한다. 즉, 시간 경과에 따라 전선이 양방향으로 완전히 확산되어 표면 전역이 결빙(Front coverage = 1.0) 상태에 도달한 결과이다. 이 단계는 이후의 온도 안정화(see Figure 6) 및 액상비 감소(see Figure 7)로 이어지는 초기 조건을 형성하며, 재 결정 전선의 완전 확산이 결빙 껍질(Freezing shell, 부분 고상화 껍질) 형성의 전제 단계임을 시각적으로 확인할 수 있다.

각 입자 i의 위치 각도 θ_i에 대해 d_i = angwrap(θ_i − θ_seed) 로 정의하고, |d_i|≤ θ_pos (또는 θ_neg)를 만족하면 그 입자는 현재 재결정 전선 내부에 포함된 것으로 간주한다. 이 구간의 입자들 은 고상(Solid)으로 완전히 전이되기 전, 액상과 고상이 공존하는 Mushy band 상태로 존재하며, 온도는 0◦C 근방으로 제한된다. 이 때의 온도 안정화 과정은 다음과 같이 클램프 연산으로 표현된다 (see Equation 15).

재결정 밴드의 존재는 실제 물리 과정에서 나타나는 잠열(Latent heat) 방출 구간을 단순화하여 모델링한 것이다.

본 논문에서는 전선 뒤에서 Mushy band와 부분 고상화가 진행 분히 경과하여 완전히 고체(Solid) 상태가 된 최종 껍질층을 고상 껍질(Solid shell)로 구분한다.

Figure 6은 결빙이 진행된 후 표면 각도에 따른 온도 분포를 나타낸다. 파란색 실선은 클램프 연산 적용 이전의 온도 분포를, 주황색 실선은 재결정 전선 내부에 대해 클램프가 적용된 이후 의 온도 분포를 각각 보여준다. 점선은 핵생성 임계온도 T_nuc = T_m − ∆T_nuc을, 세로 점선은 씨드가 위치한 각도를 나타낸다.

그래프에서 확인되듯이, 클램프 연산 후 전선 내부의 온도 가 0◦C 근방으로 제한되며 온도 변동이 급격히 억제된다. 이는 Mushy band 구간에서 발생하는 잠열(Latent heat) 방출을 수치 적으로 단순화한 결과로, 고상(Solid)과 액상(Liquid)이 공존하는 영역의 열적 안정화(Thermal stabilization) 효과를 재현한다. 또한 그래프가 전 구간에서 일정한 형태를 보이는 것은 시뮬레이션에 서 설정된 클램프 폭 w_m이 작고, 시뮬레이션 시간이 짧아(40 프 레임) 각도에 따른 온도 차이가 미소하기 때문이다. 시뮬레이션 시간을 늘리거나 w_m을 크게 하면 상부(+y) 방향의 온도가 빠르 게 클램프 구간에 진입하는 경향이 더 뚜렷하게 나타난다. 따라서 Figure 6은 재결정 전선이 확산된 이후의 온도장이 Mushy band 모델에 의해 수치적으로 안정화되고, 이 과정이 고상 껍질(Solid shell)의 형성을 위한 초기 조건으로 작용함을 보여준다.

즉, 급격한 온도 상승을 억제하고, 주변 입자들과의 열적 평형 을 유지하면서 결정화가 연속적으로 확산될 수 있도록 한다. 또한 이 구간에서 각 입자의 액상비 α_i는 점진적으로 감소하며 고상으 로의 전이를 표현한다 (see Equation 16).

여기서 k_α는 상변화율(Phase transition rate)을 의미한다.

Figure 7은 재결정 전선(Front) 전파 이후의 표면 각도에 따른 액상비(Liquid fraction) α_i의 분포를 보여준다. 파란색 실선은 전 선이 통과한 이후 각 입자의 액상비를 나타내며, 세로 점선은 씨 드가 위치한 각도를 표시한다.

그래프에서 대부분의 영역이 α ≈ 1.0을 유지하는 것은 재결 정 전선이 충분히 확산되었으나, 시뮬레이션 시간(40 프레임)이 짧고 상변화율 k_α 값이 작아 실제 액상에서 고상으로의 전이가 부분적으로만 진행되었기 때문이다. 또한 α가 1보다 약간 감소 한 영역은 전선(Front)에 의해 이미 결빙이 진행된 구간으로, 이 구간에서 입자들은 Mushy band를 거쳐 고상(Solid)으로 서서히 전이한다. 따라서 본 그림은 Mushy band 모델을 통해 고상 전 이의 공간적 범위와 속도를 간단히 표현할 수 있음을 보여준다. 결과적으로, 액상비의 점진적 감소는 재결정 전선 뒤에서 결빙 껍질(Freezing shell)이 형성되는 과정을 정성적으로 잘 반영하고 있다.

결과적으로 재결정 전선은 씨드로부터 시작되어 표면을 따라 비대칭적인 속도로 확산되며, Mushy band를 통한 온도 안정화 덕분에 결빙 전파가 수치적으로 안정적이고 연속적으로 표현된 다. 이 단계는 이후의 고상 껍질(Solid shell) 형성과 임펄스 축적 단계로 이어지며, 자발적 self-jumping 현상의 전제 조건이 된다.

Self-jumping 현상의 근본적인 원인은 재결정 구간(얼음 또는 Mushy 표면)에서 발생하는 증발 플럭스 J_i와 액체 표면에서의 증 발 플럭스 J_w의 불균형으로부터 기인한다. 이 차이는 표면 법선 방향으로 반작용 임펄스(Reaction impulse)를 발생시키며, 시간 에 따라 누적될수록 droplet 전체에 순수한 운동량 변화를 일으켜 결국 자발적인 점프(Jump)를 유도하게 된다.

그러나 모든 방향의 플럭스를 동일하게 적분하면 상반된 수평 성분들이 서로 상쇄되어 실제 점프 방향성이 소멸될 수 있다. 따 라서 본 논문에서는 전선(Front) 주변의 얇은 아크(Arc) 영역만을 선택적으로 적분함으로써, 임펄스의 수평 성분 상쇄를 최소화하 고 실제 물리적 점프 방향을 재현하였다. 이 과정을 수식으로 표 현하면 다음과 같다 (see Equation 17).

여기서 A는 아크 형태의 적분 영역을 의미하며, 즉 입자 i가 차지하는 대표 면적이며, 일반적으로 입자 간격의 제곱에 비례한 다 (∆A ≈ h²). θ_pos/neg은 전선이 씨드로부터 퍼지는 방향(양/ 음)을 나타낸다. 즉, ξ는 아크 폭을 조절하는 파라미터로, 값이작 을수록 점프 방향성이 명확해지고, 너무 크게 설정하면 양쪽 플 럭스가 중첩되어 수평 성분이 상쇄된다. 본 논문에서는 이 값을 0.3으로 설정했다. 영역 A는 재결정 전선(Front)의 말단부 주변에 위치한 좁은 각도 구간으로, 증발 플럭스의 비대칭성이 가장 크 게 나타나는 영역을 의미한다. 파라미터 ξ는 이 아크 영역의 반각 (Angular half-width)을 나타내며, 적분 범위가 지나치게 넓어져 수평 성분이 상쇄되는 문제를 방지하기 위한 제어 변수로 사용된 다. J_i는 얼음 표면에서의 증발 플럭스를, J_w는 액체 표면에서의 증발 플럭스를 의미한다. 두 값의 차이 (J_i−J_w)는 self-jumping을 유도하는 핵심 비대칭 모멘텀으로, 실제 실험에서 관찰되는 재결 정–증기화–이탈(Recalescence–vaporization–detachment) 현상을 단순화하여 반영한 물리적 근거이다. ∆A는 각 입자에 대응하는 유효 표면 면적을 의미하며, 실제 구현에서는 입자 간격 h의 제 곱에 비례하도록 정의한다. 이는 국소 증발 플럭스를 2차원 입자 기반 모델에서 면적 기반의 물리량으로 변환하기 위한 스케일링 요소이다.

Figure 8은 재결정 전선(Front)이 퍼져나가는 각도 범위와 임펄 스 적분이 제한되는 아크(Arc) 영역의 관계를 나타낸다. 파란색 실선은 시뮬레이션의 최종 시점에서 전선이 도달한 범위를 의미 하며(Front coverage), 주황색 점선은 전선의 끝단 주변에 정의된 아크 제한 적분 영역을 나타낸다. 세로 점선은 핵생성이 발생한 각도 θ_seed를 표시한다. Figure 8에서 보이듯, 전선을 따라 형성된 전체 결빙 범위 중 아크 제한 영역은 전선의 말단부(θ_pos/neg)를 중심으로 폭(ξ)만큼 좁게 설정되어 있다. 이는 모든 표면 방향에 서 증발 플럭스를 동일하게 적분할 경우 서로 반대 방향의 수평 성분이 상쇄되어 결국 순수한 점프 방향성이 사라지는 문제를 방 지하기 위함이다. 따라서 아크 형태의 제한은 실제 물리 현상에서 관찰되는 비대칭적 증발 플럭스의 방향적 집중을 단순화해 표현 하며, 이후 임펄스 적분(∆J) 단계에서 점프 방향을 일관성 있게 결정하도록 한다. 본 논문에서는 gain 계수인 ζ를 추가하여 J_net 를 계산한다 (see Equation 18). 본 논문에서는 ζ를 60으로 설정 했다.

다시 말해, J_net 은 얼음 표면(J_i)과 액체 표면(J_w) 사이의 비 대칭적인 증발 플럭스 차이로부터 유도된 단위 면적당 순임펄스 밀도이며, self-jumping의 추진력 생성의 직접적인 원인이 된다. ζ는 그 물리적 스케일을 조절하는 보정 계수이다.

각 입자의 단위 면적당 임펄스는 F_i = n_iJ_net ∆A로 계산된 다. 이후 전체 입자에 대해 선형 및 각(Angular) 임펄스를 각각 누적한다 (see Equation 19).

이러한 아크 기반 방향성 임펄스 적분 방식은 수평 성분이 제거 된 순수한 비대칭 플럭스 차이를 누적하여 실제 실험에서 관찰되 는 self-jumping 현상의 방향성과 유사한 결과를 생성한다. 특히, ξ와 ζ는 점프 강도와 각도에 직접적인 영향을 미치는 주요 제어 인자로서, 시뮬레이션에서 물리적 현상 재현뿐 아니라 그래픽스 응용 측면에서의 제작 제어성을 함께 확보할 수 있다. J_acc와 τ_acc 는 아크 영역에서 발생하는 플럭스 차이를 시간에 따라 적분하여 얻는 선형 및 각 임펄스이다. 이 두 값은 분리(Detachment) 단계 에서 최종 점프 힘과 회전 토크를 생성하는 원천이 된다.

Figure 9는 아크 제한 적분 영역 내에서의 방향성 임펄스 밀도 (J_net)와 그 누적 성분(Cumulative projections)의 변화를 나타낸 다. 파란색 실선은 각 표면 각도에 대한 J_net = ζ·(J_i − J_w)의 분포를, 주황색 파선과 초록색 점선은 각각 누적된 J_x와 J_y 성분 을 의미한다. 세로 점선은 핵생성 각도 θ_seed를 표시한다.

Figure 9에서 볼 수 있듯이, J_net은 전선(Front)의 말단부에서만 높은 값을 가지며, 이 구간에서 J_y 성분이 비대칭적으로 누적된 다. 이는 아크 제한 적분이 전선의 상·하 방향 중 한쪽(예: y 방향) 에서 더 강한 플럭스 차이를 수집함을 의미한다. 결과적으로 J_x 성분은 양쪽 아크에서 거의 상쇄되어 0에 가까워지고, J_y 성분만 남아 점프 방향성을 결정하게 된다. 이러한 누적 결과는 곧 전체 임펄스 벡터 J_acc의 주된 방향이 수직 성분(즉, Seed 반대 방향) 으로 정렬된다는 것을 보여준다.

따라서 Figure 9는 아크 제한 적분이 단순한 공간 필터링이 아 니라, 수평 성분의 상쇄를 억제하고 self-jumping을 유도하는 비 대칭 임펄스의 물리적 축적 과정임을 정량적으로 설명한다.

임펄스의 누적이 완료되면, 일정 임계값(∥J_acc∥ > J_crit)을 초 과하는 시점에서 실제 점프를 유발하는 힘(Force)이 생성된다. 이 힘은 누적된 임펄스의 시간 평균에 비례하여 다음과 같이 계산된 다 (see Equation 20).

여기서 ∆t_J 는 self-jumping 직전에 전선(Front) 주변에서 증발 플럭스 불균형이 누적되는 짧은 시간 구간이다. 즉, 재결정 전선 말단부에서 발생하는 증발 플럭스 불균형이 유지되는 짧은 시간 구간을 의미한다. 이는 실제 self-jumping 실험에서 관찰되는 밀 리초(ms) 단위의 짧은 반응 시간을 모델링하며, 최종 점프 힘을 계산할 때 사용되는 시간 평균 구간을 결정한다.

실제 물리적으로는 수 몇 밀리초(ms) 수준으로, 본 논문에서는 약 0.004s로 설정했다. 힘의 작용점은 전선(Front) 후면부의 중심 질량 근처(x_cm)에 배치되며, 이 위치는 증발 플럭스가 가장 강 하게 비대칭으로 분포하는 영역에 해당한다. 결과적으로 F_jump 는 씨드 방향의 반대편(θ_seed)을 향해 작용하며, 이는 실험적으로 관찰된 점프 방향성과 일치한다.

힘의 크기 ∥F_jump∥은 누적된 임펄스 세기(∥J_acc∥)와 임펄스 창 길이(∆t_J), 그리고 플럭스 차이(J_i − J_w)의 평균값에 의해 결 정되며, 이는 실제 self-jumping에서 관찰되는 반비례적 반응— 즉, 짧은 시간에 강한 점프 혹은 긴 시간에 완만한 점프—를 자 연스럽게 재현한다. 이러한 힘은 rigid-body 단계에서 초기 속도 (v₀ = F_jump/M )로 전달되어 결빙 방울이 실제로 이탈하는 동역 학적 거동을 유도한다. 따라서 본 연구의 전체 파이프라인은 “증 발 플럭스 불균형→방향성 임펄스 누적→힘 생성→자발적 이탈 (jump)”로 이어지는 완결된 self-jumping 동역학 과정을 시각적 으로 모델링한다.

Figure 10은 단위 원 상에서 아크 제한 적분이 수행되는 영역과, 이를 통해 얻어진 누적 임펄스 벡터 J_acc 및 점프 힘 벡터 F_jump 의 공간적 관계를 나타낸다. 원 둘레는 물방울의 표면을 단순화 한 것으로, 파란색과 주황색 점은 각각 전선(Front)의 양과 음의 방향에서 선택된 아크 적분 영역을 의미한다.

Figure 10의 중심에서 시작하는 두 화살표는 임펄스의 누적 결 과를 벡터 형태로 표현한 것으로, 짙은색 화살표는 누적된 임펄스 J_acc, 옅은색 화살표는 점프 시 발생하는 힘 F_jump를 나타낸다. 이 벡터들은 전선 후면부에서 비대칭적으로 발생하는 증발 플럭 스 차이에 의해 생성되며, 결과적으로 씨드 방향의 반대편(θ_seed) 으로 향한다. 이는 실제 실험에서 관찰되는 self-jumping의 방향 성과 일치한다.

따라서 Figure 10은 아크 기반 적분 과정이 공간적으로 비대 칭적인 플럭스 차이를 효과적으로 누적하여 결국 Droplet 전체가 반작용(Force)을 받아 이탈하는 자발적 점프 동역학의 기하학적 구조를 시각적으로 보여준다.

마스크 이미지는 흑백(또는 그레이스케일)로 해석하며, 밝은 영 역을 유효 도메인으로 간주해 그 내부에만 입자를 배치한다. 입자 배치는 두 방식을 제공한다. (1) 격자 샘플과 마스크 필터는 구현 이 간단하고 빠르며, (2) Poisson-disk 샘플링은 보다 자연스러운 분포를 제공해 비균일 밀도에서도 표면 검출이 안정적이다. 배치 가 끝나면 시뮬레이션 좌표계의 기준점을 다음과 같이 정의한다 (see Equation 21).

이는 물리적 의미의 무게중심과 정확히 일치할 필요는 없지만, 미리보기와 후속 연산(표면 판정, 법선 추정, 전선 전파 등)의 기 준 프레임으로 충분히 일관된 역할을 수행한다.

원 형태 가정에서는 씨드 각도 θ_seed를 기준으로 양과 음 방향의 전파 각도 θ_pos/neg(t) = ∫ v_pos/neg dt를 사용하여 전선의 진행을 단순한 각도 공간에서 기술하였다. 그러나 임의 형상에서는 이러 한 각도 기반 표현이 더 이상 유효하지 않으므로, 본 연구에서는 이를 경계를 따라 전개되는 호 길이 기반 파라미터화로 확장한다.

먼저 표면 입자들로만 구성된 그래프 G = (V_s, E)를 정의하 고, 간선 가중치는 인접한 표면 입자 간의 거리로 설정한다. 씨 드 입자가 결정되면, Dijkstra 또는 BFS 알고리즘을 이용하여 각 표면 입자 i에 대해 씨드로부터의 서명된 경계 거리 s_i를 계산 한다. 이때 부호는 씨드 부근의 접선 벡터 방향으로 양과 음을 구분한다.

시간 t에 따른 전선의 진행 위치는 다음과 같이 정의된다 (see Equation 22).

여기서 v_pos/neg는 전선이 양과 음 방향으로 전파되는 속도이다.

입자 i가 전선 내부에 포함되는 조건은 다음과 같이 정의된다 (see Equation 23).

즉, 씨드로부터 일정 거리 이내의 경계 입자들이 시간에 따라 순차적으로 전선 내부로 편입되며, 이는 원 형태의 경우 s ∝ θ로 귀결되어 기존 모델의 특수한 형태로 수렴한다. 이와 같은 경계 기반 매개변수화는 복잡한 형상에서도 전선의 확산 방향과 속도 를 부드럽게 추적할 수 있도록 하며, 결빙 경계의 불연속적 확산 문제를 효과적으로 방지한다.

임펄스 적분 단계에서는 수평 성분의 상쇄를 줄이기 위해, 전선의 끝단 영역에 해당하는 얇은 아크 구간만을 선택적으로 적분한다. 이 접근은 물리적으로 전선 말단에서 증발 플럭스의 불균형이 가장 크게 발생한다는 관찰에 기반하며, 불필요한 반대 방향의 기여를 효과적으로 제거한다.

원 형태에서는 아크 폭이 각도 범위로 정의되었으나, 임의 형 상에서는 각도대신 경계를 따라 측정된 호 길이 폭 w_arc를 사용 한다. 즉, 아크 적분 영역 A는 다음과 같이 정의된다 (see Equation 24).

여기서 s_i는 씨드로부터의 서명된 경계 거리이며, s_pos/neg(t)는 시간 t에서 전선이 양/음 방향으로 진행한 호 길이이다.

이 아크 영역 내에서의 방향성 임펄스는 다음과 같이 계산된다 (see Equation 25).

여기서 J_i는 얼음 표면의 증발 플럭스, J_w는 액체 표면의 증발 플 럭스이며, n_i는 해당 입자의 외측 법선 벡터이다. 여기서 J_net은 앞서 Equation 18에서 정의한 순임펄스 밀도와 동일하다.

선형 임펄스와 각(Angular) 임펄스는 시간에 따라 누적되며, 그 식은 다음과 같다 (see Equation 26).

임펄스가 임계치에 도달하면, 누적된 임펄스로부터 점프 힘과 토크가 계산된다 (see Equation 27).

이 계산 절차는 기본적으로 원 형태의 모델과 동일하지만, 아 크 정의가 각도 공간 대신 호 길이 공간으로 바뀌었다는 점에서 차이가 있다. 결과적으로 점프의 방향은 여전히 씨드 반대측으로 형성되며 (이는 실험적 관찰과 일치함), 크기는 ∥J_i − J_w∥의 아크 내 평균값과 시간 창 ∆t_J 에 의해 제어된다. 즉, 임의 형상에서도 본 모델은 비대칭 플럭스에 의한 실제 self-jumping의 방향성과 동역학적 특성을 일관성 있게 재현한다.

핵생성은 표면 온도 T_i가 임계 과냉각 T_nuc = T_m − ∆T_nuc에 가장 먼저 도달하는 위치에서 자동으로 결정된다. 재결정 밴드에서는 Mushy 클램프를 적용하여 T_i ∈ [T_m − w_m, T_m + w_m] 범위를 유 지하고, 액상비는 다음과 같이 점진적으로 감소시켜 고상(Solid) 으로의 전이를 표현한다 (see Equation 28).

결과적으로 형상이 복잡해져도 열전달과 상변화의 핵심 절차 는 기존 프레임워크와 동일하게 유지되므로, 파이프라인의 구현 복잡도는 크게 증가하지 않는다.

이미지 기반 샘플링에서는 입자 간격이 균일하지 않을 수 있 다. 최근접 거리의 중앙값 d_nn,med를 이용해 이웃 반경을 h ≈ 2.5 d_nn,med로 자동 추정하면 표면 판정이 안정적이다. 법선은 중 심 C 방사 방향 대신 밀도 기울기로 추정한 외측 법선을 사용하는 편이 임의 형상 경계에서 더 견고하다. 또한 전선 파라미터화는 각도 대신 경계-따라 정의한 호 길이를 사용한다. 표면 그래프에 대한 Dijkstra/BFS의 시간 복잡도는 O(M log M) 수준으로 충분 히 빠르며, 전선 위치는 프레임마다 증분적으로 업데이트할 수 있다. 아크 폭 w_arc(원판 모델의 ξ에 대응하는 길이 파라미터)는 너무 크면 수평 성분 상쇄가 커지고, 너무 작으면 노이즈에 민감 해지므로 장면별로 적정 범위를 선택하는 것이 바람직하다.

제안된 확장 솔버는 각도 기반 절차를 경계-따라(Geodesic-like) 파라미터화로 치환하고, 밀도기반 표면/법선과 호 길이 아크 적분을 도입함으로써 임의 실루엣에서도 물리적 일관성과 제작 제어성을 동시에 확보한다. 원판 모델의 대부분의 수식은 그대로 유지되며, 전선 전파와 임펄스 적분의 “좌표계”만 바뀐다고 이해 할 수 있다.